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Análisis de Datos
Martes 14 de Agosto, 2018

Descubra la funcionalidad de regresión no lineal de Minitab por medio de este caso de éxito.

Desde el Blog de Minitab

Uso de la regresión no lineal en Minitab para modelar la difusión en una lámpara de descarga de alta intensidad

Cuando un equipo de proyectos que evaluaba la calidad y la fiabilidad de las lámparas de descarga de alta intensidad en Philips Turnhout tuvo que modelar la química de una nueva generación de productos, descubrieron que la funcionalidad de regresión no lineal de Minitab hace que los procedimientos avanzados de ajuste de los datos sean muy accesibles. 

Por P. Watté, de Philips Innovative Applications, Tecnología y Desarrollo Global - HID & SL, Bélgica

Introducción

Artículo de Philips - P Watte Artículo de Philips - Emblema de la empresa

P. Watté, Philips Innovative Applications 

En Philips Turnhout, Minitab se utiliza ampliamente para diferentes cálculos con el fin de verificar y demostrar la calidad y fiabilidad de nuestras lámparas de descarga de alta intensidad. Recientemente, uno de nuestros equipos de proyectos descubrió valor adicional en las opciones de ajuste del modelo que ofrece Minitab. En particular, las funciones de regresión no lineal hacen que los procedimientos avanzados de ajuste sean muy accesibles. Como se detalla en este artículo, las aplicamos para entender la química dentro del quemador de una nueva generación de productos.

Philips desarrolló un nuevo tipo de lámpara de descarga de alta intensidad, la denominada gama Mastercolour Evolution de Philips. Este diseño revolucionario utiliza rellenos de halogenuros metálicos no saturados. Las generaciones anteriores utilizaban una sobredosis de relleno de sal, que también creaba una acumulación considerable de sal que afectaba el rendimiento de la lámpara. El nuevo diseño de lámpara elimina este problema. En consecuencia, ahora se puede lograr un “haz limpio” y una vida útil más prolongada, porque prácticamente no hay corrosión del óxido de aluminio del quemador. La figura 1 muestra la lámpara sometida a estudio, una lámpara Mastercolour Evolution T de 35 W con base de cerámica. El tubo de descarga tiene conectores extendidos mucho más pequeños que los de una lámpara HID clásica.

Artículo de Philips - Figura 1: Lámpara

Figura 1: La lámpara Mastercolour Evolution T de 35 W. El quemador es la parte esférica dentro de la envolvente de la lámpara de cuarzo.

Planteamiento del problema

El quemador (la parte esférica dentro de la lámpara en la que se genera un plasma) está hecho de óxido de aluminio policristalino y se fabrica mediante moldeo por inyección. Lamentablemente, los elementos pueden escapar por difusión de la matriz del quemador como óxidos y reaccionar con el relleno de sal. En las nuevas lámparas no saturadas, este es un problema crítico. En este artículo, explicamos cómo resolvimos la difusión de un elemento en particular (al que simplemente nos referiremos como “X”) de la pared del tubo de descarga. 

Datos de espectroscopia de alta resolución

Incluimos la información técnica en esta sección en aras de la exhaustividad. Los lectores que no estén interesados en estos detalles de la fabricación de la lámpara pueden saltarse esta sección y avanzar a la sección siguiente, en la que se explica cómo se ajustó el modelo en Minitab.

En una aplicación de iluminación, el tubo de descarga puede alcanzar temperaturas relativamente altas, en el rango de 1500-1900 K.  Esto promueve la difusión de óxidos y otros elementos hacia fuera del material del quemador. La cantidad de estos elementos en la descarga no se puede evaluar directamente, pero es posible una evaluación indirecta por medio de espectroscopia de alta resolución. Al ampliar una de sus líneas espectrales en el espectro de alta resolución, podemos estimar la presencia del elemento X en la descarga.  Esto se ilustra en la figura 2. 

La difusión de X hacia fuera del material del quemador se rige por un coeficiente de difusión dependiente de la temperatura.  Al hacer una selección adecuada de las líneas espectrales (normalizamos una línea espectral de X a una línea espectral de Hg), como se muestra en la figura 3, el valor de X/Hg se ajusta a una función de error compleja erfc(x), que es la solución general para una ecuación de difusión.  Se evaluaron seis lámparas Evolution de 35 W después de 100, 500, 1000, 2000, 4000, 6000, 8000 y 10000 h.  La gráfica de caja de los valores X/Hg se muestra en la figura 4. Utilizamos estos datos para ajustar una función de error compleja. Los paquetes de software de matemática pueden realizar esta tarea, pero se vuelve algo engorroso si también se desean límites de confianza para el ajuste.

Artículo de Philips - Figura 2: Espectro

Figura 2: Espectro de alta resolución (EAR) completo de la lámpara Mastercolour Evolution T de 35 W

  Artículo de Philips - Figura 3: Detalle del espectro

Figura 3: Ampliación de una línea espectral de X en el espectro de alta resolución.  La escala de longitud de onda fue omitida a propósito.

Artículo de Philips - Figura 4: Gráfica de caja

Figura 4: Gráfica de caja de la evolución de la delgada línea óptica de X con respecto a una línea de Hg en función de la vida útil de la lámpara. Cada caja representa 6 lámparas.

Ajuste de los datos en Minitab.

Los datos de la espectroscopia de alta resolución se almacenaron en dos columnas de una hoja de trabajo de Minitab, que se muestra en la figura 5.  La primera columna contiene las horas de vida útil de la lámpara a las que se realizó la medición.  La segunda columna es la altura de los valores registrados de X/Hg. Minitab no tiene una función erfc(x) incorporada, pero se puede usar Minitab para realizar el cálculo con una fórmula aproximada de Abramowitz y Stegun. 

Artículo de Philips - Ecuación 1

Ecuación 1. La fórmula de Abramowitz y Stegun para la aproximación de la función de error compleja.

Ahora explicamos cómo se hizo el ajuste elegantemente en Minitab.

Artículo de Philips - Figura 5: Hoja de trabajo

Figura 5: Organización de los datos en la hoja de trabajo de Minitab. La columna C1 es la vida útil de la lámpara a la cual se realizó la medición de EAR. La columna C2 es la relación de las líneas ópticas delgadas de X/Hg.

Para ejecutar el ajuste de erfc, seleccionamos Estadísticas Regresión   Regresión no lineal… en el menú. La ecuación de la función de ajuste se debe ingresar en la ventana requerida.  La sintaxis de Minitab es tal que los parámetros de ajuste se deben especificar como se ilustra en la figura 6.

Artículo de Philips - Figura 6: Cuadro de diálogo

Figura 6: La función de ajuste (que contiene la función de error compleja) se ingresa directamente en la ventana Función de expectativa.

Al ingresar la función de ajuste, es importante escribir el número correcto de corchetes. 

El ajuste se realizará usando la siguiente función:

Artículo de Philips - Ecuación 2

Ecuación 2.

Si usted hace clic en ‘Aceptar’, Minitab le pide que ingrese dos valores estimados para los parámetros de ajuste. Estos valores iniciales se utilizarán en un algoritmo de Levenberg-Marquardt o de Newton-Gauss para encontrar los valores óptimos de ajuste. La salida gráfica se muestra en la figura 7.

Artículo de Philips - Figura 7: Gráfica de línea ajustada

Figura 7: Ajuste de la función de ajuste de la ecuación 2 a los datos de EAR de la lámpara CDM Mastercolour Evolution de 35 W en función del tiempo de vida útil.

Al final los residuos también se pueden graficar, en una gráfica de probabilidad normal o en un histograma. Los residuos deben seguir una distribución normal para un ajuste de buena calidad. Obviamente eso es lo que sucede en este caso, como se ilustra en las figuras 8 y 9. La figura 10 muestra la ventana Sesión que aparece después del ajuste. 

Artículo de Philips - Figura 8: Gráfica de normalidad

Figura 8: Gráfica de probabilidad normal de los residuos.

Artículo de Philips - Figura 9: Histograma

Figura 9: Gráfica de residuos del ajuste: histograma de los residuos.

La figura 10 muestra la ventana Sesión que aparece después del ajuste. Contiene los parámetros de ajuste y sus EE para la estimación, así como una revisión de la falta de ajuste.  Además, revela que utilizamos el algoritmo de Gauss-Newton para la optimización del ajuste. Con los valores iniciales de 0.18, la solución se obtuvo después de 11 iteraciones.

Figura 10: Salida de la ventana Sesión después del ajuste.

Conclusión

Minitab se utiliza ampliamente para verificar y demostrar la calidad y fiabilidad de las lámparas de descarga de alta intensidad en Philips Turnhout. Como se explicó de manera detallada, uno de nuestros equipos de proyectos encontró valor adicional en el uso de la regresión no lineal para entender la química dentro del quemador de una nueva generación de productos. El equipo descubrió que la funcionalidad de regresión no lineal de Minitab hace que los procedimientos avanzados de ajuste sean muy accesibles. 

Referencias

1 M. Abramowitz y I. Stegun, “Handbook of mathematical functions”, Nat. bureau of standards, Appl Mathematics series, 55, (1972), p 299.

 

Publicado originalmente en Minitab.com

Blackberry&Cross es representante oficial de Minitab, republicación del presente artículo con autorización.

 
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